如何造出世上最圆的足球？

牛津大学数学教授马库斯·杜·索托伊（Marcus du Sautoy）创造了“流行数学”的概念，善于将复杂的数学概念用形象生动、通俗易懂的语言表达出来。业余时间，他爱好足球运动，目前是英国作家足球队队员。明晨（28日）没有世界杯赛事，观察者网小编挑选他的两篇科普文章《如何造出世上最圆的足球？》和《如何踢出弧线球？》以飨读者，译者为程玺。

如何造出世上最圆的足球？

许多运动都使用圆形球体，如网球、曲棍球、斯诺克、足球等。尽管自然界十分擅长制造球体，但对人类来说，球体的制作却颇为诡异。这是因为，在大多数情况下，制造球体的方式都是先在平面材料上裁剪出球形，然后通过制模，或通过缝制的方式来完成工序。而在某些运动中，球体制作过程中的困难反而成为一种能够加以利用的优势。例如，一只板球是由4块皮质模件缝制而成的，并非真正的球形。正因为此，投手反而可以利用接缝处的不规则表面，创造出不可预测的反弹轨迹。

板球

与此相反，乒乓球选手则要求球体必须是完美的。乒乓球是由两个赛璐珞制的半球拼接而成的，其制造方法一直不太成熟，所以每一批产品中都会有95%以上的废品。乒乓球制造人员乐此不疲地从各种畸形球体中挑出完美球形，他们利用一个发射枪向空中射出乒乓球，形状不均匀的球会发生偏移，只有那些完美球体才能笔直地飞向前方，人们在射程的另一端把这些球收集起来。

一些早期的足球设计图

那么，我们如何才能制造出完美的球体呢？在2006年德国世界杯筹备期间，制造商就宣称他们做出了世界上最圆的足球。足球通常是用几片平面皮革缝制而成的，人类所制造的许多足球都是将自古以来探索出的各种形状进行拼贴组合而成。要了解如何制造出最匀称的足球，我们可以先来看那些使用单一对称形状的皮革制造出来的“球”，这些对称形状的皮革经过特别排列后，要使最终成形的球体形状是匀称的。为使足球尽可能地匀称，每个顶点所连接的面的数量都应该是相同的。实际上，这些形状就是柏拉图在他于公元前360年编著的《蒂迈欧篇》（Timaeus）中探索的形状。

那么，柏拉图探索出的足球都有哪些不同的可能性呢？其中一个使用最少组件的足球是通过把4个等边三角形缝制在一起，从而构造出1个以三角形为底面的金字塔形四面体。但是，这不是一个很好踢的足球，因为这样的足球表面数量太少。虽然这种形状进不了足球场，但是，它确实在古代世界中占据了重要位置。

另一个形状则是立方体，由6面方形材料制作而成。乍一看去，这种形状对于足球运动来说恐怕是太过稳定了，但实际上，许多早期的足球都采用了这种结构。在1930年举办的第一届世界杯上使用的足球就是由12个长方形长条分成六组缝制而成的，看上去就像是在组装一个立方体。位于英格兰北部普勒斯顿的国家足球博物馆中便陈列着这样一只足球，只是现在看来，它非常干瘪而且不够匀称。20世纪30年代还使用了另外一种相当不同寻常的足球，它同样是建立在立方体结构之上的，但是，却由6片H形材料巧妙穿插缝制而成。

现在，我们再回头看看等边三角形。将8个这样的三角形对称组装起来便可构成1个八面体，其形状就像2个正方形底面金字塔拼贴起来的样子。一旦它们被完全地拼贴在一起后，我们便无法判断出接缝的位置。

如果柏拉图使用的表面越多，那么，他做出的足球就会越圆。八面体之后的那个图形便是用12个五边形制成的十二面体。这种形状和一年中的12个月份相关，而在一些出土的古代十二面体上，确实在表面刻有古人的历法。在所有柏拉图立体中，最完美的足球形状则是由20个等边三角形所构成的二十面体。

柏拉图认为，这五种造型是非常根本的，其中的四种形状分别与构成自然界的四种古典元素相关：四面体，最尖的一种，象征着火；稳定的立方体象征着土；八面体象征着空气；而其中最圆的一种——二十面体，则象征着流水。第5种形状即十二面体，柏拉图决定让其代表宇宙的形状。（观察者网小编注：此处应称正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体。）

柏拉图立体与自然的基本构成元素之间存在着关联

那么到底存不存在柏拉图有可能忽视掉的第六种足球形状呢？这个问题由另外一位希腊数学家欧几里得给出了解答，他在史上最伟大的一本数学书籍中对此进行了论证，证实并不存在另外一种由单一对称形状缝制出的第六种足球，因此柏拉图的列表无法再行扩充。这本名为《几何原本》的书籍，大体上奠基了数学逻辑证明的分析艺术。数学的伟大之处就在于，它能够提供有关这个世界100%确定的东西。而欧几里得的证明则告诉我们，眼前的这些形状就是所有可能的形状——前方没有惊喜，无需期待。

华东理工大学奉贤校区C60雕塑。C60分子是一种由60个碳原子构成的分子，它形似足球，因此又名足球烯。C60是单纯由碳原子结合形成的稳定分子，它具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形。其相对分子质量约为720。C60具有金属光泽，有许多优异性能，如超导、强磁性、耐高压、抗化学腐蚀、在光、电、磁等领域有潜在的应用前景。

如何踢出弧线球？

大卫·贝克汉姆和罗伯特·卡洛斯在他们的足球生涯中踢出了一些令人惊叹的任意球，这些球仿佛在空中摆脱了物理学的束缚。而在所有这些精彩的任意球中，最令人惊叹的恐怕就是卡洛斯在1997年四国邀请赛上巴西对阵法国时踢出的那个球了。这个任意球的位置离球门有30米远，在这种情况下，大多数球员都会将球开给其他队员，再继续进攻。卡洛斯则不然，他将球摆好，拉开架势准备要射门了。

法国队的守门员法比安·巴特兹在球门前方布好了人墙，他并不真的相信卡洛斯能够直接威胁到他的球门。果不其然，卡洛斯将球开出后，看起来偏得不是一点半点。球门后方的观众纷纷闪躲，以免被飞来的足球砸到。然而，突然之间，足球在最后一刻急剧左转，击中门柱内侧弹进网窝。巴特兹简直无法相信自己的眼睛，他几乎分毫未动。“这球是哪门子的飞法啊？” 巴特兹显得一脸迷茫。

1997年法国四国邀请赛卡洛斯任意球

然而，卡洛斯的这脚射门远未超越物理学范畴，他只是充分利用了足球飞行的规律罢了。当足球旋转起来后便会划出令人吃惊的轨迹。如果将球径直踢出，不让它产生任何旋转，那么，它的运动轨迹就像是二维纸面上的抛物线一样。而如果在施加一些旋转，其运动轨迹的数学模型转眼就变成了三维立体的。此时，足球在向上和向下运动的同时，也会发生左转或右转。

那么，到底是什么力将空中的足球牵引至左侧或右侧呢？这是一种被称为马格努斯效应的力，以发现者德国数学家海因里希·马格努斯的名字命名。他在1852年首次提出了对球体旋转效应的解释（德国人一向擅长足球运动），其原理和飞机机翼的提升原理相似。机翼上下的空气流速差导致上下两边的气压差，机翼上方气压较低，下方气压较高，从而制造出一种提升力将机翼拉起。

要让足球从右往左转，卡洛斯在为足球施加旋转力的时候，需要让球的左侧向他本人的方向旋转（围绕贯穿球体的垂直轴心）。这样的旋转就会牵引足球左侧的空气更快地向后流动，从而使左侧的气压降低，这一点和飞机机翼上方发生的状况一样。足球右侧的气压则会得到提升，由于右侧是往前方旋转的，因此空气流过时便会受到一定的阻力从而降低速度。这一气压差便转换为一种把球体从右引向左的力，并最终成功地将球送进球网中。

同样的原理也应用在高尔夫球运动中，能够使小球飞得比伽利略公式所预测的距离还要远。不过在这里，球体的旋转轴是水平的，和球的运动轨迹成垂直角度。在用球杆将小球从球架上击出时，让小球底端向球的飞行方向旋转。这样能减小空气流速，同时根据伯努利效应，增加球体下方的气压，从而制造出上行的力，以抵御重力牵引。事实上，小球在空中穿越时几乎毫无重量可言，就好像球在旋转时给球本身施加援手，助其驶上高速公路。

但还有一个额外因素我们并未提及，这个因素的存在解释了为何卡洛斯的任意球在最后一刻才发生偏转，该因素即球体所遇到的阻力。和前文的旅鼠种群数量的震荡类似，卡洛斯的神奇任意球的秘密也涉及从混沌到常规的转变。一个足球尾端的气流有2种，要么是混沌的，要么是常规的。混沌气流称为湍流，只有当球体运行速度很快时才会产生。常规气流称为层流，它发生在球体速度较慢的时候。这两者之间的转换发生在何时则要取决于球体的形状。

混沌湍流所造成的阻力小于常规“层”流 （图字：Chaotic turbulence- 混沌湍流，Laminar flow-层流）

我们可以轻易体验到由不同风势带来的各种类型的气流。手持旗帜（或一块布条）沿直线向前走，旗帜会在你身后漂浮摇曳。再试试在更大的风速中做同样的事情，或者在开动的汽车中将旗帜挥舞出窗外，或者在强风中手持旗帜能跑多快就跑多快，此时，旗帜肯定会狂飞乱舞。之所以产生上述差异，原因就是在不同速度之下，空气会对旗帜这样的物体发挥不同的作用。在低速的情况下，可轻易预期气流状况，但在高速情况下，气流状况则变化莫测。

这种从湍流到层流的转变会对任意球造成何种影响呢？结果证明，混沌湍流给球体造成的阻力要小得多。因此，当足球快速飞行时，其中的旋转力并不能对飞行方向发挥多少作用，因此，旋转力在大部分飞行路径中被分散了开来。当球体速度转慢，经过临界点后，湍流便让位给层流，后者将带来更大的阻力。就像驾驶员猛踩刹车那样，空气阻力会突然剧增150%。此时，旋转效果便凸显了出来，球体会突然发生剧烈转向。增加的阻力也会加强提升力，使马格努斯效应增加，更有力地把足球引向另一侧。

因此，卡洛斯需要一段足够远的距离，在用力踢球以达到混沌湍流效果后，使足球在越出边线之前减速并转向。当足球以110千米/小时的时速飞出时，周围的气流状况是混沌的，而当行程过半，速度减慢后，湍流则变为层流。刹车被踩下，旋转力跟进，转眼间，巴特兹把守的球门即告失守。

并非只有足球运动受到这个数学法则的影响。我们在乘坐交通工具时也会遇到混沌状态，特别是坐飞机时。大多数人听到“湍流”一词，马上就会联想到飞机在混乱的气流中震荡，空乘人员发出“请系好安全带”的指令。飞机时速远远大于足球的飞行速度，而机翼上方的混沌气流——湍流——增大了飞机的飞行阻力，这就意味着要消耗更多的燃料，从而增加飞行的成本。

一项研究表明，如果能将湍流阻力降低10个百分点，便可让一条航线的盈利水平提升40%。航空工程师们一直在试图通过改变机翼表面机理，降低气流混沌程度。其中一种方法就是在机翼上布满一排排平行纤细的沟槽，其细密程度就像黑胶唱片表面的沟槽一样。另一种方法则是在机翼表面布满微小的牙齿状结构——齿饰。有趣的是，鲨鱼皮肤上也布满着这种天然齿饰。看来，自然界对于如何克服流体阻力的认识要比工程师们更早。

尽管人们对该领域投入了很大的研究热情，但足球或机翼的湍流问题依然是数学中最大的谜团之一。这里有一些好消息：人们已经设法写出了用来描述空气或液体行为状态的公式。但坏消息是：还没有人能解得出这些公式！这些公式并非只对贝克汉姆和卡洛斯等足球运动员来说非常重要，各行各业也都用得着它们。天气预报人员需要它们来预测大气中的气流状况，医生需要它们以理解血液在人体内的流动状况，天体物理学家需要它们以弄清楚银河系中的恒星是如何运动的。所有这一切都受这个相同的数学原理掌控。此时此刻，预报人员、设计师及其他从业者则只能依靠一些近似的推测，而由于这些公式背后隐藏着混沌特性，即使细微差错也会对结果造成巨大影响，所以，他们的推测很可能是完全不着调的。

这些公式被称为纳维－斯托克斯方程，以两位写出它们的19世纪数学家的名字命名。理解这些方程并不容易，以下是其中一个常见写法：

纳维－斯托克斯方程

如果读者对其中有些符号不太了解的话，也不必大惊小怪，因为并没有多少人真正了解它们！而对于那些懂得数学语言的人来说，这些方程式中隐藏着预测未来的那把钥匙。它们是如此重要，谁能首先解出它们，便可获得一百万美元的奖励。

量子物理学创始人、伟大的德国物理学家维尔纳·海森堡曾经说过：

见到上帝时，我要请教他两个问题：相对论以及湍流。我相信他一定给得出第一个问题的答案。

当卡洛斯被问到他是如何发现这种剧烈转向的秘密时，他回答说：

从小我就反复练习任意球的精准技法。通常在每次训练后，我都会抽出至少一小时时间，进行额外的任意球精准度练习。万事莫不如此，投入的辛苦和汗水越多，你就能得到越多的收获。

我想这同样适用于数学。一个问题越困难，你解出该问题获得的满足感就越强。因此，当数学运算越来越艰深，想想卡洛斯所说的：“投入的辛苦和汗水越多，你就能得到越多的收获。”而当你解开史上最大的一个数学谜团时，所有人都会像巴特兹那样盯着落网的足球，充满迷惑地说道：“天啊，他是怎么做到的？”

《神奇的数学》，马库斯·杜·索托伊，人民邮电出版社